TIC-FUNCIONES: Teoría de las funciones y ejemplos desarrollados en GeoGebra.

Diagramas de Venn

John Venn (1834 - 1923), fue un matemático y lógico británico miembro de la Real Sociedad de Londres. Es especialmente conocido por su método de representación gráfica de proposiciones (según su cualidad y cantidad) y silogismos conocido como los diagramas de Venn. Estos permiten una comprobación de la validez o invalidez de un silogismo. Posteriormente fueron utilizados para mostrar visualmente las operaciones más elementales de la teoría de conjuntos.

Ejemplo y actividad
Los diagramas de Venn se usan para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. Nosotros vamos a ver y a estudiar ejemplos con

Estos dos conjuntos muestran 2 elementos que no pueden tener nada en común.

Por ejemplo, el conjunto A son cuadrados amarillos y el conjunto B son cuadrados verdes. El diagrama de Venn quedaría de la siguiente manera:

Hay otro tipo de diagrama de Venn, que son los que tienen una zona en común entre los conjuntos A y B, y esta zona se llama intersección (inter).

Ejemplo, el conjunto A son cuadrados y el conjunto B son figuras verdes. El diagrama quedaría de la siguiente manera:

En la zona azul (a) están los cuadrados.

En la zona Amarilla (b) están las figuras verdes.

En la zona roja (inter) están los cuadrados que son verdes.

FUNCIONES

Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje; la producción total de una fábrica puede depender del tiempo transcurrido desde que salió de un punto específico; el volumen del espacio ocupado por un gas a presión constante depende de su diámetro; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse mediante una función.

Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor especifico de Variables: Se puede decir que es todo aquello que cambia a través del tiempo o espacio, el mismo espacio y tiempo se consideran variables. La clave de este concepto es que ocurre cambio, ya que si esto sucede, se dice que ocurrió variación. En el estudio de funciones se conocen dos tipos de variables.

VARIABLE INDEPENDIENTE: Se considera aquella que se define por sí misma, una de esas por su naturaleza es el tiempo, pero existen otras. Esta variable por lo general se ubica en el eje de las abscisas del plano cartesiano; es decir, en el eje x.

VARIABLE DEPENDIENTE: Como su nombre lo indica, son aquellas que quedan definidas a partir de otra; es decir, depende de otra para quedar definida. Esta variable es ubicada en el eje de las ordenadas en el plano cartesiano; eje y. Cuando se dice que el área de un círculo es función del radio, lo que se quiere decir es que el área depende del radio. A = f (R)

CONSTANTES: Son términos que tienen valores fijos; es decir, lo que indica que no cambia en ninguna circunstancia. Los valores numéricos son el ejemplo típico de constantes.

En la antigüedad se utilizaban las vocales para indicar las variables y las consonantes para indicar las constantes. En la actualidad por convención general, las primeras letras del alfabeto se utilizan para indicar las constantes y las últimas letras para indicar las variables.

En funciones, al conjunto de partida se le llama Dominio y a los elementos del conjunto de llegada se le llama imagen. En el plano cartesiano los elementos del dominio son ubicados en el eje x y los elementos de la imagen son ubicados en el eje y. Por la definición, se puede inferir que todas las funciones son relaciones,

Para determinar si una relación es función, basta con observar en el diagrama de Venn, que todos los elementos del dominio estén relacionados con algún elemento del rango, pero solo con uno. Gráficamente, para todos los elementos del dominio, debe salir solo una flecha.

Hay dos casos donde la relación no es función: Cuando un solo elemento del dominio no esté relacionado con alguno del rango o si algún elemento del dominio está relacionado con más de un elemento del rango.

Existen 4 formas de definir una función, en el trabajo con funciones Éstas formas se trabajan indistintamente, lo que indica que se deben conocer y dominar adecuadamente.

1. DESCRIPTIVA: Es la descripción verbal del fenómeno que se estudia, en esta se detallan las condiciones en que ocurren los hechos. Por ejemplo: La ganancia G que resulta de vender x artículos, en la cual el valor unitario es de $200.

2. NUMÉRICA: Consiste en hacer una tabla de valores con los datos obtenidos del fenómeno al hacer las mediciones correspondientes. Por ejemplo

H	0	1	2	3	4	5
N	0	5	10	15	20	25

3. GRÁFICA: Por medio de una representación gráfica, ubicando pares ordenados en el plano cartesiano, se puede observar la forma de la curva que muestra la función dada. Los puntos ubicados en el plano son los descritos en la parte numérica.

4. ANALÍTICA: También es llamada Matemática, es aquella que por medio de un modelo matemático se describe el fenómeno, para el ejemplo que estamos analizando seria: El modelo describe la ganancia (G) en función de número de artículos vendidos (x).

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN: En toda función se encuentran 3 elementos.

Dominio: Son los elementos del conjunto de partida; es decir, los elementos de x, que corresponden a la variable independiente. En el ejemplo modelo la variable independiente son el número de artículos vendidos. Anteriormente se hizo aclaración que los elementos del dominio se ubican en el eje x del plano cartesiano.

Imagen: Son los elementos del conjunto de llegada; es decir, los elementos de y, que corresponden a la variable dependiente. En el ejemplo modelo es la ganancia G. También por convención los elementos de la imagen se ubican en el eje y del plano cartesiano.

Regla o Condición: Se considera a la forma en que se relacionan los elementos de x e y. Cada función tiene una regla que relaciona las dos variables. Solo se debe tener presente que a cada elemento de x le corresponde solo uno de y.

Conclusiones

· Todos los temas reflejados en este trabajo son importantes y aplicables en nuestra vida diaria, y el buen manejo de las funciones matemáticas nos facilitan el desarrollo a problemas con una posible solución en nuestro día a día.

Las funciones permiten a través de sus diferentes recursos y software, abordar la ciencia y la tecnología de manera crítica, analítica y creativa.

Referencia Bibliográfica

Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11583

Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícita Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Funciones implícita

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

Bibliografía

(s.f.). Obtenido de https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/1BachCT/Tipos%20de%20funciones.pdf

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Función constante: Es una función en que siempre toma el valor k , que es una constante:

Su dominio son todos los números reales:

Y el rango es:

Ejemplo:

Su dominio son todos los números reales

El rango es:

Función identidad: Es una función donde la variable dependiente toma el mismo valor que tiene la variable independiente:

Su dominio son todos los números reales.

Funciones algebraicas: Son las funciones que se obtienen cuando se efectúan un número finito de sumas, restas y productos con las funciones constante e identidad. Su dominio son todos los números reales.

Funciones polinómicas

Una función polinómica es aquella que tiene la forma

Funciones lineales: Son funciones polinómicas de la forma:

La representación gráfica de una función lineal es una recta donde m representa la pendiente (grado de inclinación) y b representa la ordenada al origen (cruce de la recta en el eje y). Por ser también una función polinómica, su dominio son todos los números reales.

Ejemplo:

La gráfica de esta función es una línea recta, con pendiente positiva

Funciones cuadráticas: Son funciones polinómicas de la forma:

Donde a y b son constantes y a es diferente de cero. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba si a>0 o que se abre hacia abajo si a<0. Al ser función polinómica, su dominio son todos los números reales.

Ejemplos:

Ejemplos:

Funciones racionales: Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Esto es, q es una función racional si para todo x en el dominio, dados los polinomios , se tiene:

Ejemplo:

Funciones irracionales: Son aquellas funciones algebraicas y/o racionales en que interviene la operación de radicación. A fin de que este tipo de funciones existan, el dominio depende de la naturaleza de las raíces y, en su caso, de los ceros del denominador.

El dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros (o raíces) del polinomio en el denominador, ya que la división por cero no está definida.

Ejemplo: